📐 公式速查

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📙 选择性必修第一册

高二上

空间向量与立体几何

法向量求法

n·AB=0，n·AC=0 → 解方程取一个非零解

取整数值最方便

线面角

sinθ=|a·n|(|a||n|)

θ∈[0,π/2]

二面角

cosθ=±(n₁·n₂)(|n₁||n₂|)

先看图定锐钝

点面距

d=|AP·n||n|

P 在平面外、A 在面内

直线与圆的方程

点到直线距离

d=|Ax₀+By₀+C|√A²+B²

最常用公式

两平行线距离

d=|C₁−C₂|√A²+B²

先化成系数相同

弦长

|AB|=2√r²−d²

d 为圆心到直线距离

切线长

切线长=√OP²−r²

P 为圆外一点

圆锥曲线

椭圆

x²a²+y²b²=1；a²=b²+c²；e=ca∈(0,1)

焦点在长轴

双曲线

x²a²−y²b²=1；c²=a²+b²；渐近线 y=±(ba)x

e>1

抛物线

y²=2px；焦点 (p2,0)；准线 x=−p2

p>0

弦长

|AB|=√1+k²·|x₁−x₂|

联立+韦达

📕 选择性必修第二册

高二下

数列

等差

aₙ=a₁+(n−1)d；Sn=n(a₁+aₙ)2

中项 2aₙ=aₙ₋₁+aₙ₊₁

等比

aₙ=a₁qⁿ⁻¹；Sn=a₁(1−qⁿ)(1−q)

q=1 时 Sn=na₁

求和技巧

错位相减(等差×等比)、裂项相消、分组求和、倒序相加

看通项结构选方法

递推构造

aₙ₊₁=paₙ+q → aₙ₊₁+t=p(aₙ+t)，t=q(p−1)

p≠1

导数及其应用

基本求导

(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹；(sinx)′=cosx；(cosx)′=−sinx；(eˣ)′=eˣ；(lnx)′=1x

必背

运算法则

(uv)′=u′v+uv′；(uv)′=(u′v−uv′)v²

复合函数链式法则

切线方程

y−f(x₀)=f′(x₀)(x−x₀)

在某点 vs 过某点要区分

极值判定

f′(x₀)=0 且左右异号；左正右负为极大

先看定义域

📘 必修第一册

高一上

集合与常用逻辑用语

子集个数

含 n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集、2ⁿ−1 个真子集

非空真子集 2ⁿ−2

并集/交集

x∈A∩B ⇔ x∈A 且 x∈B；x∈A∪B ⇔ x∈A 或 x∈B

或 = 至少一个

补集

x∈∁U A ⇔ x∈U 且 x∉A

先明确全集

充要条件

p⇒q：p 充分、q 必要；p⇔q：充要

判断用"小范围推大范围"

一元二次函数、方程和不等式

判别式

Δ=b²−4ac；Δ>0 两不等实根，Δ=0 重根，Δ<0 无实根

解集形状由 a、Δ 决定

韦达定理

x₁+x₂=−ba，x₁x₂=ca

常用于根的关系、构造二次

基本不等式

a+b≥2√ab，当且仅当 a=b 取等

一正二定三相等

均值链

2(1a+1b)≤ √ab ≤(a+b)2≤ √(a²+b²)2

考试常考等号条件

函数的概念与性质

周期关系

f(x+T)=f(x)；若 f(x+a)=−f(x) 则 T=2a

对称轴+对称中心可推周期

对称轴

f(a+x)=f(a−x) ⇔ 关于 x=a 对称

两对称轴距=半周期倍数

单调运算

增+增=增；增−减=增

复合函数看内外层

值域方法

配方法、换元法、判别式法、单调性法、基本不等式

先看定义域

指数函数与对数函数

换底公式

logₐb =log_c blog_c a

常用 ln 或 lg

指对互化

a^x=N ⇔ x=logₐN

解方程常用

对数恒等式

a^(logₐN)=N，logₐa=1，logₐ1=0

注意真数>0

图像特征

a>1 递增；0

底大图"翘"

三角函数

两角和差

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ

符号要分清

二倍角

sin2α=2sinαcosα；cos2α=cos²α−sin²α=2cos²α−1=1−2sin²α

降幂常用

辅助角

a sinx+b cosx=√a²+b² sin(x+φ)

求最值/周期

正余弦定理

asinA=bsinB=csinC=2R；a²=b²+c²−2bc cosA

解三角形必背

📗 必修第二册

高一下

平面向量

模长

|a|=√x²+y²；|a±b|²=|a|²±2a·b+|b|²

求模先平方

夹角

cosθ=a·b(|a||b|)

θ∈[0,π]

坐标运算

a±b=(x₁±x₂, y₁±y₂)；λa=(λx, λy)

与解析几何联动

投影

a 在 b 上的投影=|a|cosθ=(a·b)|b|

可正可负

复数

除法

(a+bi)(c+di)=((a+bi)(c−di))(c²+d²)

分母实数化

模

|z|=√a²+b²；|z₁z₂|=|z₁||z₂|

模的运算性质

共轭

z+z̄=2a，z−z̄=2bi

快速求实虚部

i 的周期

i,−1,−i,1 循环，周期 4

i²⁰²⁶=i²=−1

立体几何初步

柱体

V=Sh；S表=2S底+S侧

圆柱侧面积 2πrh

锥体

V=⅓Sh

圆锥侧面积 πrl

球

V=43 πR³；S=4πR²

外接球常用补形法

台体

V=⅓h(S₁+√S₁S₂+S₂)

圆台/棱台通用

统计与概率

方差

s²=(1n)Σ(xᵢ−x̄)²

也可用 E(X²)−(EX)²

古典概率

P=mn

先数清总事件数

对立事件

P(Ā)=1−P(A)

"至少"问题常用

独立事件

P(AB)=P(A)P(B)

与互斥区分

📒 选择性必修第三册

高二下 / 高三

计数原理

组合数性质

C(n,m)=C(n,n−m)；C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m−1)

杨辉三角

通项

T(r+1)=C(n,r)·aⁿ⁻ʳ·bʳ

求指定项、系数

二项式系数和

C(n,0)+…+C(n,n)=2ⁿ；奇数项和=偶数项和=2ⁿ⁻¹

赋值法

分组分配

先分组(除均分重复)再排列

均分要除以组数阶乘

随机变量及其分布

期望性质

E(aX+b)=aE(X)+b；D(aX+b)=a²D(X)

线性变换

二项分布

E=np，D=np(1−p)

n 次独立重复

条件概率

P(B|A)=P(AB)P(A)

P(A)>0

全概率

P(B)=ΣP(Aᵢ)P(B|Aᵢ)

完备事件组

🎯 高考专题

高三

专题一 · 函数与导数

切线

y−f(x₀)=f′(x₀)(x−x₀)

"在"与"过"要分清

常见放缩

eˣ≥x+1；lnx≤x−1

证明不等式常用

零点定理

f(a)f(b)<0 且连续 → (a,b) 内有零点

配合单调性唯一

二次求导

f″(x) 定号 → f′(x) 单调 → f(x) 单调

复杂函数常用

专题二 · 三角与向量

面积

S=½ab sinC=½ac sinB=½bc sinA

已知两边夹角

余弦定理

a²=b²+c²−2bc cosA

已知三边或两边夹角

辅助角

asinx+bcosx=√a²+b²sin(x+φ)

φ 由 tanφ=b/a 定

中线/角平分线

中线长用向量或余弦定理；角平分线定理 BDDC=ABAC

常考

专题三 · 数列与不等式

Sn 与 an

aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁(n≥2)，a₁=S₁

最容易漏 n=1

裂项

1n(n+1)=1n−1(n+1)

推广 1/(n(n+k))

错位相减

Sn=qSn 相减，适合"等差×等比"

注意末项

归纳法

n=1 验证 → 假设 n=k → 推 n=k+1

步骤要写全

专题四 · 解析几何

弦长

|AB|=√1+k²·√Δ|A|

直线与曲线联立

点差法

中点弦斜率 k=−(b²x₀)(a²y₀)(椭圆)

椭圆/双曲线通用

焦点弦

抛物线 y²=2px 焦点弦长 x₁+x₂+p

p>0

韦达

x₁+x₂=−BA，x₁x₂=CA

联立后化简成标准形

专题五 · 立体几何

线面角

sinθ=|a·n|(|a||n|)

θ∈[0,π/2]

二面角

cosθ=±(n₁·n₂)(|n₁||n₂|)

先判锐钝

点面距

d=|AP·n||n|

体积法也可

外接球

长方体：2R=√a²+b²+c²

补形法

专题六 · 概率统计

期望

E(X)=Σxᵢpᵢ；E(aX+b)=aE(X)+b

先列分布列

方差

D(X)=E(X²)−(E(X))²；D(aX+b)=a²D(X)

常考计算

二项分布

X~B(n,p)：E=np，D=np(1−p)

独立重复

独立性检验

χ²=n(ad−bc)²((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))

对照临界值

公式以课本为准；抄写时注意符号与条件（如 a>0、q≠1）。