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第 10 章

空间向量与立体几何

坐标法 · 法向量 · 空间角

🗺️ 本章知识地图

空间向量基本定理：任意三个不共面向量可作基底。
建系三件套：找垂直关系→写坐标→求法向量；法向量是垂直题的核心。
线面角 sinθ=|cos⟨a,n⟩|；二面角先判断锐钝，避免差 π。
距离：点面距 d=|AP·n|/|n|；线面距、面面距都可化为点面距。

📐 核心公式

法向量求法

n·AB=0，n·AC=0 → 解方程取一个非零解

取整数值最方便

线面角

sinθ=|a·n|(|a||n|)

θ∈[0,π/2]

二面角

cosθ=±(n₁·n₂)(|n₁||n₂|)

先看图定锐钝

点面距

d=|AP·n||n|

P 在平面外、A 在面内

✏️ 典型例题

例1 线面角

正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 棱长为 2，求 A₁B 与平面 ABCD 所成角的正弦值。

展开解析

建系：A(0,0,0)，B(2,0,0)，A₁(0,0,2)。
平面 ABCD 法向量 n=(0,0,1)。
A₁B=(2,0,−2)，|A₁B|=2√2。
sinθ=|A₁B·n|/(|A₁B||n|)=2/(2√2)=√2/2。

答案：√2/2（45°）

⚠️ 易错提醒

二面角不判断锐钝直接用 cos 值
法向量算错导致整题连锁错