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第 5 章

三角函数

诱导公式 · 图像 · 恒等变换

🗺️ 本章知识地图

弧度制：π 弧度=180°；弧长 l=αr，扇形面积 S=½αr²。
同角关系：sin²α+cos²α=1，tanα=sinα/cosα。
诱导公式口诀"奇变偶不变，符号看象限"（k·π/2）。
图像性质：y=sinx 周期 2π、奇函数；y=cosx 偶函数；y=tanx 周期 π。

📐 核心公式

两角和差

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ

符号要分清

二倍角

sin2α=2sinαcosα；cos2α=cos²α−sin²α=2cos²α−1=1−2sin²α

降幂常用

辅助角

a sinx+b cosx=√a²+b² sin(x+φ)

求最值/周期

正余弦定理

asinA=bsinB=csinC=2R；a²=b²+c²−2bc cosA

解三角形必背

✏️ 典型例题

例1 求值

求 sin15° 的值。

展开解析

15°=45°−30°。
sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°。
=(√2/2)(√3/2)−(√2/2)(1/2)。

答案：(√6−√2)/4

⚠️ 易错提醒

诱导公式符号判断错
解三角形忘记讨论两解（SSA）