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第 14 章

导数及其应用

求导 · 单调性 · 极值最值

🗺️ 本章知识地图

导数几何意义：f′(x₀) 是曲线在 x₀ 处切线斜率。
单调性：f′(x)>0 增，f′(x)<0 减；含参讨论先求导再定号。
极值：f′(x₀)=0 且左右变号；最值要比较端点与极值。
恒成立问题：分离参数 + 求最值，或构造函数求最值。

📐 核心公式

基本求导

(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹；(sinx)′=cosx；(cosx)′=−sinx；(eˣ)′=eˣ；(lnx)′=1x

必背

运算法则

(uv)′=u′v+uv′；(uv)′=(u′v−uv′)v²

复合函数链式法则

切线方程

y−f(x₀)=f′(x₀)(x−x₀)

在某点 vs 过某点要区分

极值判定

f′(x₀)=0 且左右异号；左正右负为极大

先看定义域

✏️ 典型例题

例1 切线方程

求曲线 y=x³−2x 在点 (1,−1) 处的切线方程。

展开解析

y′=3x²−2。
在 x=1 处 k=1。
y+1=1·(x−1) → y=x−2。

答案：y=x−2

⚠️ 易错提醒

"过某点"的切线漏掉另一个切点
单调区间用"∪"连接