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第 13 章

数列

等差 · 等比 · 求和 · 递推

🗺️ 本章知识地图

等差数列：aₙ=a₁+(n−1)d；Sn=n(a₁+aₙ)/2=na₁+n(n−1)d/2。
等比数列：aₙ=a₁qⁿ⁻¹；Sn=a₁(1−qⁿ)/(1−q)（q≠1）。
判断方法：定义法、中项法、通项公式法；证明题必须回到定义。
求通项：累加（差为 n 型）、累乘（比为 n 型）、构造等比（aₙ₊₁=paₙ+q）。

📐 核心公式

等差

aₙ=a₁+(n−1)d；Sn=n(a₁+aₙ)2

中项 2aₙ=aₙ₋₁+aₙ₊₁

等比

aₙ=a₁qⁿ⁻¹；Sn=a₁(1−qⁿ)(1−q)

q=1 时 Sn=na₁

求和技巧

错位相减(等差×等比)、裂项相消、分组求和、倒序相加

看通项结构选方法

递推构造

aₙ₊₁=paₙ+q → aₙ₊₁+t=p(aₙ+t)，t=q(p−1)

p≠1

✏️ 典型例题

例1 等比数列求和

等比数列 {aₙ} 中 a₁=2，公比 q=3，求前 5 项和。

展开解析

q≠1，用公式 Sn=a₁(1−qⁿ)/(1−q)。
S₅=2(1−3⁵)/(1−3)=2(1−243)/(−2)=242。

答案：242

⚠️ 易错提醒

等比求和使用公式前不讨论 q=1
错位相减最后一项符号写错