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第 16 章

随机变量及其分布

分布列 · 期望方差 · 二项/正态

🗺️ 本章知识地图

分布列三列：取值、概率、检验；所有概率和必须为 1。
E(X)=Σxᵢpᵢ；D(X)=Σ(xᵢ−E(X))²pᵢ=E(X²)−(E(X))²。
二项分布 X~B(n,p)：P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ，E=np，D=np(1−p)。
正态分布：对称性、3σ 原则；P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6827。

📐 核心公式

期望性质

E(aX+b)=aE(X)+b；D(aX+b)=a²D(X)

线性变换

二项分布

E=np，D=np(1−p)

n 次独立重复

条件概率

P(B|A)=P(AB)P(A)

P(A)>0

全概率

P(B)=ΣP(Aᵢ)P(B|Aᵢ)

完备事件组

✏️ 典型例题

例1 二项分布期望

某射手命中率 0.8，射击 5 次，求命中次数的期望与方差。

展开解析

X~B(5,0.8)。
E(X)=np=4。
D(X)=np(1−p)=5×0.8×0.2=0.8。

答案：E(X)=4，D(X)=0.8

⚠️ 易错提醒

分布列概率和不为 1 未检验
二项分布与超几何分布混淆