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第 2 章

一元二次函数、方程和不等式

解不等式 · 基本不等式

🗺️ 本章知识地图

一元二次不等式解集看开口与判别式，口诀"大于取两边，小于取中间"（a>0）。
分式不等式先移项通分，再等价转化为整式不等式（注意分母≠0）。
基本不等式 a+b≥2√(ab)（a,b>0），积定和最小、和定积最大；取等条件必须验证。
含参不等式分类讨论：看二次项系数、判别式、根的大小。

📐 核心公式

判别式

Δ=b²−4ac；Δ>0 两不等实根，Δ=0 重根，Δ<0 无实根

解集形状由 a、Δ 决定

韦达定理

x₁+x₂=−ba，x₁x₂=ca

常用于根的关系、构造二次

基本不等式

a+b≥2√ab，当且仅当 a=b 取等

一正二定三相等

均值链

2(1a+1b)≤ √ab ≤(a+b)2≤ √(a²+b²)2

考试常考等号条件

✏️ 典型例题

例1 分式不等式

解不等式 (x−1)/(x+2) ≥ 0。

展开解析

等价于 (x−1)(x+2) ≥ 0 且 x+2≠0。
根为 −2、1，开口向上取两边。
得 x≤−2 或 x≥1，再排除 x=−2。

答案：x<−2 或 x≥1

⚠️ 易错提醒

分式不等式直接乘分母（未判断正负）
基本不等式忘记写取等条件