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第 3 章

函数的概念与性质

定义域 · 单调性 · 奇偶性

🗺️ 本章知识地图

定义域优先：分式分母≠0、偶次根式被开方≥0、对数真数>0、零次幂底数≠0。
单调性：定义法（取值、作差、变形、定号）与导数法；复合函数"同增异减"。
奇偶性：定义域必须关于原点对称；f(−x)=f(x) 偶，f(−x)=−f(x) 奇。
对称性：f(a+x)=f(a−x) 关于 x=a 对称；周期由对称轴/对称中心推导。

📐 核心公式

周期关系

f(x+T)=f(x)；若 f(x+a)=−f(x) 则 T=2a

对称轴+对称中心可推周期

对称轴

f(a+x)=f(a−x) ⇔ 关于 x=a 对称

两对称轴距=半周期倍数

单调运算

增+增=增；增−减=增

复合函数看内外层

值域方法

配方法、换元法、判别式法、单调性法、基本不等式

先看定义域

✏️ 典型例题

例1 求定义域

求 f(x)=√(x−1)+1/(2−x) 的定义域。

展开解析

根式：x−1≥0 → x≥1。
分母：2−x≠0 → x≠2。
取交集。

答案：[1,2)∪(2,+∞)

⚠️ 易错提醒

求奇偶性忘记先看定义域对称
单调区间不能用并集连接