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第 11 章

直线与圆的方程

斜率 · 距离 · 位置关系

🗺️ 本章知识地图

直线五种形式：点斜、斜截、两点、截距、一般式；注意斜率不存在的特殊情况。
两直线平行/垂直看斜率：平行 k₁=k₂，垂直 k₁k₂=−1（斜率都存在时）。
圆的方程：标准式 (x−a)²+(y−b)²=r²；一般式 x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²−4F>0）。
直线与圆：相交/相切/相离看圆心距 d 与 r：d<r 相交、d=r 相切、d>r 相离。

📐 核心公式

点到直线距离

d=|Ax₀+By₀+C|√A²+B²

最常用公式

两平行线距离

d=|C₁−C₂|√A²+B²

先化成系数相同

弦长

|AB|=2√r²−d²

d 为圆心到直线距离

切线长

切线长=√OP²−r²

P 为圆外一点

✏️ 典型例题

例1 弦长

圆 x²+y²=25 被直线 3x+4y−10=0 截得的弦长是多少？

展开解析

圆心 (0,0)，r=5。
d=|−10|/5=2。
弦长=2√(25−4)=2√21。

答案：2√21

⚠️ 易错提醒

设直线方程时漏掉斜率不存在
圆一般式忘记检验 D²+E²−4F>0