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第 12 章

圆锥曲线

椭圆 · 双曲线 · 抛物线

🗺️ 本章知识地图

椭圆：到两定点距离之和为 2a（2a>|F₁F₂|）；a²=b²+c²。
双曲线：到两定点距离之差的绝对值为 2a（0<2a<|F₁F₂|）；c²=a²+b²。
抛物线：到焦点与到准线距离相等；标准方程 y²=2px 焦点 (p/2,0)。
直线与圆锥曲线联立 → 韦达定理 → 弦长/中点/面积；判别式先看。

📐 核心公式

椭圆

x²a²+y²b²=1；a²=b²+c²；e=ca∈(0,1)

焦点在长轴

双曲线

x²a²−y²b²=1；c²=a²+b²；渐近线 y=±(ba)x

e>1

抛物线

y²=2px；焦点 (p2,0)；准线 x=−p2

p>0

弦长

|AB|=√1+k²·|x₁−x₂|

联立+韦达

✏️ 典型例题

例1 椭圆标准方程

椭圆焦点为 (±3,0)，长轴长为 10，求标准方程。

展开解析

2a=10 → a=5。
c=3。
b²=a²−c²=25−9=16。

答案：x²/25+y²/16=1

⚠️ 易错提醒

椭圆/双曲线中 a、b、c 关系记反
联立后忘记检验 Δ>0