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第 4 章

指数函数与对数函数

运算 · 图像 · 比较大小

🗺️ 本章知识地图

指数运算：a^m·a^n=a^(m+n)，(a^m)^n=a^(mn)，a^0=1(a≠0)。
对数运算：logₐ(MN)=logₐM+logₐN，logₐ(M/N)=logₐM−logₐN，logₐMⁿ=n·logₐM。
比较大小三招：同底看单调性、同指数看图像、都不同用中间值 0/1。
指数/对数函数图像过定点：(0,1)、(1,0)；底数 a 与 1 的大小决定单调。

📐 核心公式

换底公式

logₐb =log_c blog_c a

常用 ln 或 lg

指对互化

a^x=N ⇔ x=logₐN

解方程常用

对数恒等式

a^(logₐN)=N，logₐa=1，logₐ1=0

注意真数>0

图像特征

a>1 递增；0

底大图"翘"

✏️ 典型例题

例1 比较大小

比较 2^0.3、log₂0.3、0.3² 的大小。

展开解析

2^0.3>2^0=1。
log₂0.3<log₂1=0。
0<0.3²<1。
所以 log₂0.3 < 0.3² < 2^0.3。

答案：log₂0.3 < 0.3² < 2^0.3

⚠️ 易错提醒

对数真数忘记大于 0
换底公式分子分母写反