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第 18 章

专题二 · 三角与向量

解三角形 · 恒等变换 · 数量积

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解三角形：正余弦定理选择看已知（两角一边用正弦，两边夹角用余弦）。
恒等变换目标：化为一个角一个三角函数（辅助角公式）。
向量数量积两条路：定义式求角，坐标式求值。
三角形中"边角互化"是核心：正弦定理可实现边角转换。

📐 核心公式

面积

S=½ab sinC=½ac sinB=½bc sinA

已知两边夹角

余弦定理

a²=b²+c²−2bc cosA

已知三边或两边夹角

辅助角

asinx+bcosx=√a²+b²sin(x+φ)

φ 由 tanφ=b/a 定

中线/角平分线

中线长用向量或余弦定理；角平分线定理 BDDC=ABAC

常考

✏️ 典型例题

例1 解三角形

△ABC 中 a=3，b=4，C=60°，求 c。

展开解析

c²=a²+b²−2ab cosC。
=9+16−2×3×4×½=13。

答案：c=√13

⚠️ 易错提醒

正弦定理求角时漏掉钝角解
辅助角 φ 所在象限判断错