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第 7 章

复数

四则运算 · 几何意义

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z=a+bi（a,b∈R），a 实部、b 虚部；i²=−1。
共轭复数 z̄=a−bi；z·z̄=a²+b²=|z|²。
复数相等 ⇔ 实部、虚部分别相等。
几何意义：z 对应复平面点 (a,b)；|z| 是到原点距离。

📐 核心公式

除法

(a+bi)(c+di)=((a+bi)(c−di))(c²+d²)

分母实数化

模

|z|=√a²+b²；|z₁z₂|=|z₁||z₂|

模的运算性质

共轭

z+z̄=2a，z−z̄=2bi

快速求实虚部

i 的周期

i,−1,−i,1 循环，周期 4

i²⁰²⁶=i²=−1

✏️ 典型例题

例1 复数的除法

计算 (1+2i)/(1−i)。

展开解析

分子分母同乘 (1+i)。
(1+2i)(1+i)=1+i+2i+2i²=−1+3i。
分母 (1−i)(1+i)=2。

答案：(−1+3i)/2 = −1/2 + 3/2 i

⚠️ 易错提醒

虚部是 b 而不是 bi
i² 忘记换成 −1