第 15 章
计数原理
排列组合 · 二项式定理
🗺️ 本章知识地图
- 分类加法、分步乘法是计数总纲；"分类不重不漏、分步才可相乘"。
- 排列 A(n,m)=n!/(n−m)!，组合 C(n,m)=n!/(m!(n−m)!)；顺序有关用排列。
- 相邻问题捆绑法、不相邻插空法、定序问题除法、分组分配先分堆再分配。
- 二项式定理：(a+b)ⁿ 展开式通项 T(r+1)=C(n,r)aⁿ⁻ʳbʳ。
📐 核心公式
组合数性质
C(n,m)=C(n,n−m)；C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m−1)
杨辉三角
通项
T(r+1)=C(n,r)·aⁿ⁻ʳ·bʳ
求指定项、系数
二项式系数和
C(n,0)+…+C(n,n)=2ⁿ；奇数项和=偶数项和=2ⁿ⁻¹
赋值法
分组分配
先分组(除均分重复)再排列
均分要除以组数阶乘
✏️ 典型例题
例1 相邻问题
5 人排队，甲乙必须相邻，有多少种排法？
展开解析
- 甲乙捆绑成一个"整体"，与其余 3 人共 4 个元素排列：4!。
- 甲乙内部再排列：2!。
- 总数=4!×2!=48。
答案：48 种
⚠️ 易错提醒
- 均分分组忘记除以组数阶乘
- 二项式系数与项的系数混淆
🎯 本章自测（3 题）
1. C(5,2) 的值是
2. 5 人排成一排，共有多少种排法
3. (a+b)⁴ 的二项式系数和为