目录 / 专题三 · 数列与不等式

第 19 章

专题三 · 数列与不等式

通项 · 求和 · 证明

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通项优先：an 与 Sn 关系 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁（n≥2），n=1 单独验证。
求和按通项类型选方法：等差等比公式、错位相减、裂项相消、分组。
证明不等式常用：数学归纳法、放缩、单调性。
数列不等式放缩要"恰到好处"，先试小 n 再证明一般。

📐 核心公式

Sn 与 an

aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁(n≥2)，a₁=S₁

最容易漏 n=1

裂项

1n(n+1)=1n−1(n+1)

推广 1/(n(n+k))

错位相减

Sn=qSn 相减，适合"等差×等比"

注意末项

归纳法

n=1 验证 → 假设 n=k → 推 n=k+1

步骤要写全

✏️ 典型例题

例1 通项

已知 Sn=n²+n，求 aₙ。

展开解析

n≥2：aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(n²+n)−((n−1)²+(n−1))=2n。
n=1：a₁=S₁=2，也满足 2n。

答案：aₙ=2n

⚠️ 易错提醒

用 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ 忘记验证 n=1
错位相减符号/项数出错