目录 / 集合与常用逻辑用语

第 1 章

集合与常用逻辑用语

集合运算 · 充要条件

🗺️ 本章知识地图

集合三要素：确定性、互异性、无序性；空集是任何集合的子集。
运算：A∩B、A∪B、∁U A；数轴/韦恩图是画关系的第一工具。
含参集合问题先看空集：B⊆A 时先讨论 B=∅。
充分/必要条件：p⇒q 则 p 是 q 的充分条件；小范围推大范围。

📐 核心公式

子集个数

含 n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集、2ⁿ−1 个真子集

非空真子集 2ⁿ−2

并集/交集

x∈A∩B ⇔ x∈A 且 x∈B；x∈A∪B ⇔ x∈A 或 x∈B

或 = 至少一个

补集

x∈∁U A ⇔ x∈U 且 x∉A

先明确全集

充要条件

p⇒q：p 充分、q 必要；p⇔q：充要

判断用"小范围推大范围"

✏️ 典型例题

例1 集合运算与参数

设 A={x | x²−3x+2=0}，B={x | ax−1=0}，若 B⊆A，求 a。

展开解析

A={1,2}。
B=∅ 时 a=0，满足 B⊆A。
B≠∅ 时 x=1/a：1/a=1 → a=1；1/a=2 → a=1/2。
综上 a=0 或 a=1 或 a=1/2。

答案：a∈{0, 1, 1/2}

⚠️ 易错提醒

忘记 B=∅ 导致漏解
把"充分"和"必要"方向搞反