第 6 章
平面向量
线性运算 · 数量积 · 坐标
🗺️ 本章知识地图
- 向量是"既有大小又有方向"的量，向量相等要求大小、方向都相同。
- 线性运算：平行四边形法则/三角形法则；共线定理 b=λa（a≠0）。
- 数量积 a·b=|a||b|cosθ，几何意义是投影；坐标式 a·b=x₁x₂+y₁y₂。
- 垂直与平行：a⊥b ⇔ a·b=0；a∥b ⇔ x₁y₂−x₂y₁=0。
📐 核心公式
模长
|a|=√x²+y²；|a±b|²=|a|²±2a·b+|b|²
求模先平方
夹角
cosθ=a·b(|a||b|)
θ∈[0,π]
坐标运算
a±b=(x₁±x₂, y₁±y₂)；λa=(λx, λy)
与解析几何联动
投影
a 在 b 上的投影=|a|cosθ=(a·b)|b|
可正可负
✏️ 典型例题
例1 夹角与数量积
已知 |a|=2，|b|=3，a·b=3，求 a 与 b 的夹角。
展开解析
- cosθ=a·b/(|a||b|)=3/(2×3)=1/2。
- θ∈[0,π]，所以 θ=π/3。
答案：θ=π/3（60°）
⚠️ 易错提醒
- 数量积不满足结合律
- 向量夹角与直线夹角范围不同（直线夹角只取锐角/直角）
🎯 本章自测（3 题）
1. 若 a=(1,2)，b=(2,−1)，则 a·b=
2. a=(1,2)，b=(2,4)，则 a 与 b
3. |a|=3，|b|=4，a·b=0，则 |a+b|=