目录 / 专题一 · 函数与导数

第 17 章

专题一 · 函数与导数

压轴常客 · 单调性/零点/恒成立

🗺️ 本章知识地图

函数题先看定义域与奇偶/周期，再考虑单调性、最值。
导数压轴三步：求导 → 定号（分类讨论）→ 用最值/零点定理收尾。
恒成立、存在性问题：分离参数或构造函数，转化为最值比较。
零点个数：单调性 + 端点符号 + 图象走势，必要时取特殊点。

📐 核心公式

切线

y−f(x₀)=f′(x₀)(x−x₀)

"在"与"过"要分清

常见放缩

eˣ≥x+1；lnx≤x−1

证明不等式常用

零点定理

f(a)f(b)<0 且连续 → (a,b) 内有零点

配合单调性唯一

二次求导

f″(x) 定号 → f′(x) 单调 → f(x) 单调

复杂函数常用

✏️ 典型例题

例1 恒成立

若对任意 x>0，x²−ax+1≥0 恒成立，求 a 的取值范围。

展开解析

分离参数：a≤x+1/x（x>0）。
x+1/x≥2，当 x=1 取等。
所以 a≤2。

答案：a≤2

⚠️ 易错提醒

分类讨论不完整
用放缩证明时等号条件不成立