第 20 章
专题四 · 解析几何
联立 · 韦达 · 弦长 · 定点定值
🗺️ 本章知识地图
- 套路固定：设直线 → 联立圆锥曲线 → 韦达定理 → 目标量表示。
- 弦长公式 |AB|=√(1+k²)|x₁−x₂|，配合韦达。
- 中点弦用"点差法"；定点定值问题先猜后证。
- 计算量大，先化简再代入；注意斜率不存在与 Δ>0。
📐 核心公式
弦长
|AB|=√1+k²·√Δ|A|
直线与曲线联立
点差法
中点弦斜率 k=−(b²x₀)(a²y₀)(椭圆)
椭圆/双曲线通用
焦点弦
抛物线 y²=2px 焦点弦长 x₁+x₂+p
p>0
韦达
x₁+x₂=−BA，x₁x₂=CA
联立后化简成标准形
✏️ 典型例题
例1 弦长
直线 y=x+1 与椭圆 x²/4+y²=1 相交，求弦长。
展开解析
- 联立：x²/4+(x+1)²=1 → 5x²+8x=0。
- x₁=0，x₂=−8/5，|x₁−x₂|=8/5。
- 弦长=√(1+1²)×8/5=8√2/5。
答案：8√2/5
⚠️ 易错提醒
- 直线设为 y=kx+m 漏斜率不存在
- 联立后忘记 Δ>0 检验
🎯 本章自测（3 题）
1. 椭圆 x²/16+y²/9=1 的离心率是
2. 直线与抛物线联立后常用
3. 弦长公式中 |AB|=√(1+k²)·|x₁−x₂| 要求