目录 / 专题五 · 立体几何

第 21 章

专题五 · 立体几何

建系 · 法向量 · 空间角

🗺️ 本章知识地图

几何法与向量法两条路：能建系优先坐标法，图形不规整用几何法。
平行垂直证明回到判定定理；角度距离用向量算。
探索性问题（是否存在点）用参数设点 + 方程求解。
外接球问题：长方体补形、正四面体模型、球的截面性质。

📐 核心公式

线面角

sinθ=|a·n|(|a||n|)

θ∈[0,π/2]

二面角

cosθ=±(n₁·n₂)(|n₁||n₂|)

先判锐钝

点面距

d=|AP·n||n|

体积法也可

外接球

长方体：2R=√a²+b²+c²

补形法

✏️ 典型例题

例1 体积法求距离

正方体棱长 2，求点 A 到平面 A₁BD 的距离。

展开解析

建系或等体积：V(A-A₁BD)=V(A₁-ABD)。
S△ABD=2，高 AA₁=2，V=4/3。
S△A₁BD 为边长 2√2 的正三角形，面积 2√3。
距离 d=3V/S=2/√3=2√3/3。

答案：2√3/3

⚠️ 易错提醒

法向量与平面不垂直
二面角与两法向量夹角混淆